Fable 5 опроверга 87-годишна хипотеза на Якоби

На 20 юли 2026 г. математикът Левент Алпьоге публикува в X три реда полиноми, които събарят една от най-известните отворени задачи в алгебричната геометрия — якобианската хипотеза, формулирана от Ото-Хайнрих Келер през 1939 г. Контрапримерът е намерен с помощта на Claude Fable 5, модела на Anthropic, и е достатъчно кратък, за да се побере в един пост. До сутринта беше проверен на ръка, а после и машинно.

Какво твърди хипотезата

Хипотезата има кратка формулировка. Ако вземете полиномно изображение от C^n към C^n — тоест всяка от изходните координати е полином от входните — и якобианският му детерминант е ненулева константа, то изображението трябва да е обратимо, и то с полиномна обратна функция.

Идеята е интуитивна: якобианът измерва локално дали изображението свива или разтяга обема. Щом навсякъде е една и съща ненулева стойност, нищо не се слепва локално. Изкушаващият извод е, че тогава нищо не се слепва и глобално.

За 87 години никой не успя нито да го докаже, нито да го обори. Стивън Смейл включи задачата в списъка си с математически проблеми за следващия век през 1998 г. По пътя се натрупаха десетки грешни „доказателства” — достатъчно, че в средите ѝ лепнаха репутацията на капан.

Контрапримерът

Изображението, което Алпьоге обяви, е от C³ в C³. Ако означим u = 1 + xy:

F(x, y, z) = (
  u³z + y²u(4 + 3xy),
  y + 3xu²z + 3xy²(4 + 3xy),
  2x − 3x²y − x³z
)

Степените на трите полинома са 7, 6 и 4. Якобианският детерминант е тъждествено равен на −2 — навсякъде, за всяка точка. Тоест всички предпоставки на хипотезата са изпълнени.

И въпреки това изображението не е инективно. Три различни входни точки дават един и същ изход:

F(0, 0, −1/4) = F(1, −3/2, 13/2) = F(−1, 3/2, 13/2) = (−1/4, 0, 0)

Това е всичко. Няма нужда от теория — заместването е аритметика с дроби и всеки, който има търпение или SymPy, може да го провери сам. Точно тази проверимост отличава резултата от обичайните твърдения за AI постижения, които опират до benchmark-ове и вътрешни тестове.

Проверката отне часове, не месеци

Кевин Бъзърд от Imperial College London описа случая в блога си Xena още същия ден, под заглавието „Human mathematicians are being outcounterexampled”. Пол Льозо формализира примера в Lean и го предложи като PR към хранилището Formal Conjectures на Google DeepMind — преди нощта да е свършила.

Оттам нататък темпото е нехарактерно за чистата математика. Дейвид Спейър публикува геометрично обяснение на механизма — „тангентно помитане”, което помита семейството допирателни към равнинна крива и така кара изображението да покрива повечето точки три пъти. Алексис Галахър извади цяло семейство контрапримери с произволна степен на общото влакно, включително четириточково изображение със степени (12, 11, 4).

На 31 юли Шухонг Гао качи в arXiv препринта „Counterexamples to the Jacobian conjecture in dimensions greater than two”, който обобщава конструкцията от равнинни криви към полета от направления върху хиперповърхнини и дава пет явни изображения в размерности 3, 4 и 5.

Какво направи моделът и какво не

Тук си струва да сме точни. Задачата е подадена на Алпьоге от Акхил Матю, а рамката — търсене на неинективно изображение на Келер с определена форма в размерност три — е човешка. Fable 5 е генерирал кандидат-конструкции и алгебричните стъпки; проверката и оформянето са човешки.

Тимъти Гауърс определи резултата като забележителен, но с уговорката „ако е верен”, и напомни, че става дума за контрапример, а не за нова теория. Рецензирана публикация в списание още няма.

Другото уточнение е математическо: паднаха размерностите n ≥ 3. Класическият двумерен случай — този, около който се върти по-голямата част от литературата — остава отворен и не се достига чрез добавяне на променливи към триизмерния пример.

Контекст

Това не е изолиран случай. В коментарите под поста на Бъзърд се броят близо дузина подобни резултата само за юли 2026 г. — включително контрапример на хипотеза на Гротендик за групови схеми на 11 юли, а по-рано през май задачи на Ердьош паднаха пред езикови модели. Същите тези модели работят и извън математиката: Саймън Уилисън описа на 5 август как Fable 5 е построил цяла 3D браузърна игра от един-единствен prompt — впечатляващо технически, но според него посредствено като игра.

Разликата тук е в проверимостта. Когато агентите работят самостоятелно, обикновено остава въпросът кой гарантира резултата — проблем, който видяхме и когато AI агенти се опитаха да вкарат зловреден код в отворен проект. При контрапример такъв въпрос няма: или замествате трите точки и получавате един и същ изход, или не.

Бъзърд формулира и практическия извод — че мащабните AI-генерирани резултати в математиката са неизбежни и че всеки докторант, който не плаща за достъп до тези инструменти, е „луд”. Следващата стъпка според него не е още контрапримери, а прозрението, което може да се извлече от тях. Засега то е човешка работа.